Robot Planar 2R — Determinant geomètric del jacobià
1. Posició del final d’efector
Per a un robot planar de dos braços \(a_1, a_2\) amb angles \(q_1, q_2\):
\[
x = a_1\cos q_1 + a_2\cos(q_1 + q_2)
\]
\[
y = a_1\sin q_1 + a_2\sin(q_1 + q_2)
\]
2. Derivades parcials i jacobià
Calculem les derivades respecte dels dos angles:
Respecte \(q_1\):
\[
\frac{\partial x}{\partial q_1} = -a_1\sin q_1 - a_2\sin(q_1 + q_2)
\]
\[
\frac{\partial y}{\partial q_1} = a_1\cos q_1 + a_2\cos(q_1 + q_2)
\]
Respecte \(q_2\):
\[
\frac{\partial x}{\partial q_2} = -a_2\sin(q_1 + q_2)
\]
\[
\frac{\partial y}{\partial q_2} = a_2\cos(q_1 + q_2)
\]
Jacobià:
\[
J = \begin{bmatrix}
-a_1\sin q_1 - a_2\sin(q_1 + q_2) & -a_2\sin(q_1 + q_2) \\
a_1\cos q_1 + a_2\cos(q_1 + q_2) & a_2\cos(q_1 + q_2)
\end{bmatrix}
\]
3. Determinant: pas a pas algebraic
Expressem el determinant per la definició:
\[
\det(J) = J_{11}J_{22} - J_{12}J_{21}
\]
On:
\( J_{11} = -a_1\sin q_1 - a_2\sin(q_1 + q_2) \)
\( J_{12} = -a_2\sin(q_1 + q_2) \)
\( J_{21} = a_1\cos q_1 + a_2\cos(q_1 + q_2) \)
\( J_{22} = a_2\cos(q_1 + q_2) \)
Fem la substitució:
\[
\det(J) = \left(-a_1\sin q_1 - a_2\sin(q_1 + q_2)\right)a_2\cos(q_1 + q_2) - \left(-a_2\sin(q_1 + q_2)\right)\left[a_1\cos q_1 + a_2\cos(q_1 + q_2)\right]
\]
Expandim i agrupem cada terme:
\[
= -a_1 a_2 \sin q_1 \cos(q_1 + q_2) - a_2^2 \sin(q_1 + q_2)\cos(q_1 + q_2)
\]
\[
+ a_1 a_2 \sin(q_1 + q_2)\cos q_1 + a_2^2 \sin(q_1 + q_2)\cos(q_1 + q_2)
\]
Observem que els termes en \(a_2^2 \sin(q_1 + q_2)\cos(q_1 + q_2)\) s’anul·len:
\[
- a_2^2 \sin(q_1 + q_2)\cos(q_1 + q_2) + a_2^2 \sin(q_1 + q_2)\cos(q_1 + q_2) = 0
\]
Només queden:
\[
\det(J) = -a_1 a_2 \sin q_1 \cos(q_1 + q_2) + a_1 a_2 \sin(q_1 + q_2)\cos q_1
\]
4. Pas trigonomètric clau
Factoritzem \(a_1 a_2\) i grupem:
\[
\det(J) = a_1 a_2 \left[ \sin(q_1 + q_2)\cos q_1 - \sin q_1\cos(q_1 + q_2) \right]
\]
Ara apliquem la identitat trigonomètrica:
\[
\sin(A)\cos(B) - \sin(B)\cos(A) = \sin(A-B)
\]
En el nostre cas \(A = q_1 + q_2,\ B = q_1\):
\[
\sin(q_1 + q_2)\cos q_1 - \sin q_1\cos(q_1 + q_2) = \sin((q_1 + q_2) - q_1) = \sin(q_2)
\]
Conclusió final:
\[
\det(J) = a_1 a_2 \sin(q_2)
\]
Interpretació geomètrica sense producte creuat
El valor \(a_1 a_2 \sin(q_2)\) mesura l’"efecte d’escampament" instantani entre els dos braços. Quan \(q_2 = 0\) o \(\pi\), el segon braç està alineat amb el primer: el determinant és zero perquè tot el moviment de l’efector és en una sola direcció (singularitat). El valor màxim es dona quan els dos braços formen angle recte (\(q_2 = \pi/2\)), el moviment és màxim en totes les direccions, la destresa cinemàtica arriba al màxim[web:1].
5. Visualització interactiva (robot planar 2R)